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数学世界搭车指南方程9天才的陨落和阿贝尔的痛

发布时间:2024-03-18媒体报道
世界上最著名的奖项是诺贝尔奖。 应该说,当今世界这六个领域(物理、化学、和平、生理医学、文学和经济学)都可以得到。 最高荣誉。 众所周知,诺贝尔奖中没有数学奖。 2001年

世界上最著名的奖项是“诺贝尔奖”。 应该说,当今世界这六个领域(物理、化学、和平、生理医学、文学和经济学)都可以得到。 最高荣誉。 众所周知,诺贝尔奖中没有数学奖。 2001年,挪威政府决定设立一个奖项——“阿贝尔奖”,以纪念挪威著名数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔诞辰200周年。 纪念日,用来弥补诺贝尔数学奖的缺失。

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2003年,第一位阿贝尔奖获得者法国人让-皮埃尔·塞尔获得了80万美元的奖金,以表彰他对建立拓扑学、代数几何和数论等现代数学许多领域的贡献。 在其现代形式中发挥了关键作用。 80万美元,这是什么概念? 被誉为数学界诺贝尔奖的“菲尔兹奖”,奖金只有1500美元(后来增加到15000加元)。

尼尔斯·亨里克·阿贝尔是谁? 多么著名的方法,我慢慢告诉你吧。

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19世纪初,北欧的丹麦因拿破仑战争中的中立问题与英国及其盟国发生争执。 当时,挪威还是丹麦的一部分,而夹在瑞典和丹麦之间的挪威也来来回回,地位几经变换。 手,可想而知,在那些战火纷飞的日子里,然后又发生了经济危机,所以几乎所有的挪威人都过得很艰难。

阿贝尔1802年出生于挪威。他的父亲是一位新教牧师和挪威民族主义者。 他一直致力于挪威独立运动,并参与了挪威新宪法的起草。 他的母亲是一位商人和一位船主的女儿。 贝尔是家里的第二个孩子,有六个兄弟姐妹。 总之,他出生在一个条件一般的家庭,没有一个幸福无忧无虑的童年。

1815年,不到14岁的阿贝尔进入奥斯陆克里斯蒂安尼亚教堂的一所教会学校。 亚伯就读的教会学校本来就不错。 然而,由于挪威奥斯陆大学于1813年刚刚成立,几乎所有的教会学校都处于劣势。 老师们都被带走了,他就成了“渣男”。 当然,阿贝尔在学校的评价是,他是一个普通的学生,在物理和数学方面有一点天赋。

这种情况一直持续到1817年,阿贝尔的数学老师因体罚学生并意外杀死一名学生而被学校开除。 这时,还是个孩子的阿贝尔迎来了他人生中的第一个贵人,他的新数学老师霍姆博。

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霍尔伯认为,数学区别于所有其他科学的标志是数学符号。 要理解这些符号,需要反复训练,让学生明白这些数学符号的含义,让学生看到用语言表达的表达方式。 当学生学习数学命题时,他们可以立即使用数学符号来表达命题。 老师的意义就是引导,让学生一步步理解。 不要从抽象的命题开始,而是轻描淡写地讨论那些看起来复杂和困难的命题。 理解命题并用简单的术语将复杂的问题简单化。

在霍尔伯的影响下,年轻的阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。 在老师的介绍下,他阅读了大量的欧拉、牛顿、拉朗德、达朗贝尔、拉格朗日和拉朗德的著作。 普拉斯的原创数学著作,并对它进行了深入的思考。 他的每一句话都令人惊叹,引人深思,甚至能在前人大师的著作中找出其中的破绽。 这让他的老师霍姆伯格感叹他是数学天才,并努力培养和训练他。

正当阿贝尔在数学的海洋中畅游,热切地吸收数学知识时,灾难降临了。 阿贝尔的父亲于1820年去世。事实上,早在1818年,阿贝尔的父亲就因工作失误和酗酒而被解除了挪威议会议员的职务,结束了他的政治生涯。 他的父亲也因酗酒而早逝。 这对阿贝尔的家人造成了沉重的打击。 一方面,家里没有钱,无法继续学业。 另一方面,18岁的他有义务赡养母亲,也需要照顾弟弟妹妹。 年轻的阿贝尔面临着辍学。 危机。

之前有说霍尔伯是阿贝尔的贵族。 为什么?

霍尔伯写了一份关于他的学生阿贝尔的报告提交给学校,称“阿贝尔是他一生中见过的最令人惊叹的天才。阿贝尔对数学的热情和兴趣很可能使他成为一名伟大的数学家”。未来。” 在霍尔伯的帮助下,阿贝尔获得了丰厚的奖学金并得以继续学业。 霍尔伯还到处筹集资金帮助阿贝尔,这使得阿贝尔在1821年进入了奥斯陆大学,仅仅一年多的时间,阿贝尔就获得了学位。 在大学期间,阿贝尔遇到了他一生中的第二位贵人,克里斯托弗·汉斯汀,一位天文学和数学教授。

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事实上,中学时,他在霍尔伯的帮助下,就完成了大学数学的学习。 到了大学,他甚至觉得没什么可学的,就自学,每天都在图书馆里学习。 数学文献。 他对单变量五次方程的研究已经到了连老师都看不懂的地步。 Hansting 教授和他的同事 Søren Rasmussen 向我们推荐了 Abel 的论文。这篇文章是关于丹麦最好的数学家 Carl Ferdinand Degen 的。 德根仔细阅读了阿贝尔的论文,但阿贝尔论文的讨论不够充分,所以德根要求他提供一些细节和例子。 当阿贝尔改进他的论文时,他发现他的论文存在严重的问题。 这个缺陷导致整篇论文崩溃,让阿贝尔怀疑一般的五阶方程是否可解。 这也让阿贝尔从寻找一般五阶方程的通解的道路转向了是否能解的新方向。 正是这篇论文,让德根看到了阿贝尔无与伦比的数学天赋。 同时,他认为花时间求解五次方程实在是浪费了他的才能。 数学界正在涌现一批研究椭圆积分的研究人员。 研究蓬勃发展,于是他给阿贝尔写了一封信,说:“椭圆积分的发展将对数学分析和经典力学产生很大影响,你应该更加关注这方面的研究。这将是麦哲伦的又一个海峡”通向浩瀚的海洋。”

奥斯陆街头的每个人都认识这个年轻人,他因为老师筹集的资金而能够上大学。 事实上,汉斯廷教授的妻子甚至把阿贝尔当作儿子一样对待。 不仅阿贝尔住在汉斯廷家里,而且阿贝尔也住在汉斯廷家里。 贝尔的兄弟姐妹都住在小阁楼里。 汉斯廷教授还帮助他的弟弟和妹妹在奥斯陆找到了工作。 阿贝尔非常喜欢这位学术水平很高、热情善良的教授。 在他的回忆录中,他恭敬地称汉斯廷教授的妻子为他的母亲。

1822年,汉斯廷创办了挪威第一本自然科学杂志《Magazin for Naturvidenskaberne》。 第二年,阿贝尔在该杂志上发表了他的第一篇论文,利用积分方程解决了一个古老的“等时线”命题,这是此类问题的第一个解决方案,开创了积分方程研究的先河。

1823年,拉斯穆森教授向阿贝尔捐赠了100英镑,这使阿贝尔有机会去哥本哈根学习并拜访卡尔·费迪南德·德根教授等数学家。 正是这次游学,开始了他的游学生涯,也开启了他人生的悲剧,但在哥本哈根仍然是一个好的开始。 在一次舞会上,他结识了未婚妻克里斯汀·坎普(Christine Kemp),这也是阿贝尔一生中难得的幸福时光。 他们在那年圣诞节订婚,当时阿贝尔 21 岁。

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从哥本哈根回来后,阿贝尔申请了政府奖学金前往德国和法国留学,向世界顶尖数学家学习。 在等待奖学金批准期间,阿贝尔完成了他的第一本书《Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré》,有法文和中文译本。 对于《证明一般五次方程组没有代数通解》,他缺钱,又没有赞助商,只能自掏腰包。 为了省钱,阿贝尔一次又一次把论文简化、简化。 很多地方都被简化、省略,以至于论文中经常出现的表述是“这里省略了关于XXX的证明(表达式)……”当最终稿完成时,这部杰作只有六页。 。 我还记得鲁菲尼的证明吗? 那是一部长达500多页的宏伟巨著。

阿贝尔自信地把这本小册子寄给了当时世界上一些最著名的数学家,其中包括“数学王子”高斯,希望能得到一些回应。 可惜这篇文章太简洁、太省略、太跳跃,而且是一个名不见经传的年轻人写的。 当时几乎没有数学家能够理解它,也许是因为他们缺乏耐心。 高斯收到薄薄的信封时捏紧了它。 他觉得,试图用几张纸来解决一个几百年都没有解决的问题,无异于异想天开。 他连打开的兴趣都没有,就扔到一边,直到1855年高斯去世时,在整理他的遗物时,薄薄的信封仍然密封完好,安静地躺在废墟中。 伟大的“阿贝尔-鲁菲尼定理”被世人忽视,人们不禁感叹命运的不公。 为这个定理做出贡献的两位数学家,都被眼神昏暗的“王子”高斯耽误了。

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终于,政府资助的奖学金终于来了,一笔200英镑以及此后两年每年600英镑的“巨款”,德国、法国之行终于实现了。

1825 年 9 月,他与四位大学朋友离开克里斯蒂安尼亚。 本来他打算去哥本哈根拜访德根,然后去哥廷根拜访高斯。 然而,当他到达哥本哈根时,非常崇拜他的数学家德根已于四月去世,这让阿贝尔非常郁闷。 他拒绝了汉斯廷直接去巴黎的建议,和那些朋友一起去了柏林。 他在一封信中写道,“我就是无法忍受孤独,心情沮丧,脾气暴躁,完全没有工作的想法。”

在柏林,他每天和朋友们游山玩水,晚上喝酒聊天。 德国著名哲学家黑格尔恰好就住在隔壁。 这对夫妇喜欢黑格尔在晚上安静地思考哲学。 那是一场灾难。 黑格尔向房东抱怨他们晚上太吵了。 房东告诉他,他们是一群在那里读书的挪威学生。 黑格尔当时就震惊了,“天哪,我一直以为他们是一群俄罗斯熊。”

在柏林的时光是阿贝尔人生中又一段难得的幸福时光。 在柏林,他结识了数学家奥古斯特·利奥波德·克雷勒,他也是阿贝尔一生中的第三位贵人。

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在阿贝尔的建议下,克雷尔于1826年创办了《纯粹与应用数学杂志》。1826年,这是阿贝尔一生中的高光时刻。 第一期,阿贝尔发表了7篇论文,其中一篇是他之前发给高斯的:《证明一般五次方程没有代数通解》。 ”,他对这篇简洁短小的论文进行了修改和完善,同时还有方程论、泛函方程和理论力学方面的六篇论文。可以说,克雷尔的期刊成就了阿贝尔的成功。在给他的启蒙老师霍尔伯的一封信中,他写道: “我的视野突然变得如此开阔,我发现数学中几乎所有的无穷级数和的证明都不严谨,也就是说,也许我们研究的数学是在沙子里建塔,理论基础并不坚硬的。 当然,这些无穷级数大部分都是有效的。 这太令人震惊了。 我很难找出具体原因。 这是一个值得研究的A课题。”

原计划是阿贝尔和克雷尔去哥廷根拜访伟大的数学家高斯。 然而,由于高斯对阿贝尔第五方程的研究不感兴趣,他决定直接前往当时世界科学的中心巴黎。 至于高斯为何忽略阿贝尔,有人认为高斯可能独立完成了五次方程无解的证明,并不想利用阿贝尔。 还有人说高斯不知道五次方程是否有根以及是否可解。 我一点也不关心,因为高斯在1801年的一篇论文中写道,“求方程的代数解并不比求方程的根好多少。在我看来,它们是一样的。”

由于克雷尔延误,他只身踏上了前往圣城巴黎的道路,途经莱比锡、弗莱贝格、德累斯顿、布拉格、维也纳、的里雅斯特、威尼斯、维罗纳、博赫穿越阿尔卑斯山,途经埃尔扎诺、因斯布鲁克、卢塞恩和巴塞尔。 一路上,他不断拜访当地数学家,开始研究椭圆函数理论,并制定了阿贝尔定理,为后来的阿贝尔贝尔函数和阿贝尔积分奠定了理论基础。 他将这些论文寄回柏林并发表在克雷尔的数学期刊上。

1826年7月,阿贝尔只身从巴塞尔前往巴黎。 那时,巴黎是名副其实的世界科学之都。 法国大革命引发的启蒙运动深入人心。 无论是文学、哲学还是科学,每个行业、每个学科、几乎所有领域都在百花齐放。 法国科学院定期发布科学赏金,赏金数额惊人。 科学家齐聚巴黎,世界各地的年轻人来到巴黎为自己的未来而奋斗。

1826年的法国,数学大神拉格朗日已经去世十多年了。 剩下的大神傅立叶主要研究三角函数、热力学和电学,泊松则从事积分论和概率统计。 普拉斯专注于与天文学相关的数学研究,勒让德对解方程不感兴趣,而且上述人都已经老了。 正值盛年的柯西是著名的“学术恶棍”。 以镇压年轻人而闻名。

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阿贝尔在巴黎的生活确实很艰难。 他遇到了一位“格朗台”式的房东。 他一天只吃两顿非常差的饭菜,还有一个肮脏的小房间。 房租高得吓人。 在这种可怕的情况下,在极其卫生的条件下,结核病在当时的法国盛行。 不幸的是,身体不够强壮的阿贝感染了肺结核。 在抗生素发明之前的日子里,这种疾病持续消耗着病人的体力和精力,直至形容憔悴不堪,所以它是一种“富贵病”。 面对这种疾病,富人还能苟延残喘,穷人则只能等死。 对于阿贝尔这个带着借钱和奖学金来到巴黎的穷小子来说,命运就是如此不公。

《论普遍超越函数的性质》这篇在数学史上具有极其重要意义的论文,交给了柯西,却像肉包子打狗一样,杳无音讯。 柯西连一次都没翻过,所以他对这个菜鸟数学家完全无动于衷。 无奈之下,阿贝尔将论文提交给了法国科学院。 阿贝尔告诉他的启蒙老师霍尔伯:“与德国不同,这里的人比较保守,很难接近。想要闯入他们的圈子是非常困难的,很难,而且对于一个新来的人来说想要出人头地是不可能的。我“我刚刚完成了一篇关于超越函数的论文。我把论文交给了柯西,但他驳回了,所以我只好把论文提交给法国科学院,他们说下周会给我答复。”

然而,法国科学院决定让柯西和目光呆滞的勒让德担任审稿人。 74岁的勒让德抱怨说,“手稿的墨水写得非常苍白,几乎是白色的。字迹很差,语法也不清楚。” ”,于是他把它扔给了可西。

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柯西忙于他一生中最重要的工作“Leçons sur les applications du calculus infinitésimal à la geométrie”(Leçons sur les applications du calculus infinitésimal à la géométrie)和复变函数的研究。 他吝啬得连一点时间都抽不出来,虽然勒让德在阿贝尔的论文上催促过他好几次,但直到阿贝尔去世两个月后,他才匆匆给出了审稿意见。 著名历史学家贝尔豪斯对此评价道:“他草率、卑鄙、肤浅,既不配他的才华,也不配回顾阿贝尔论文的重要性。”

阿贝尔在信中写道,“柯西这个疯子是现在唯一懂数学的人,但我对此无能为力。”

在巴黎的几个月里,在等待、犹豫和疾病的摧残下,阿贝尔很快就崩溃了。 《现代数学的奠基人阿贝尔》一书这样描述当时的阿贝尔,写道:“……瘦弱、抑郁、精神虚弱、感觉很累……每天只吃一顿饭……”

阿贝尔将自己的所有研究成果寄给了克雷尔,并发表在《纯粹与应用数学》上,以换取一些版税。 然而,结果只是杯水车薪,一贫如洗的阿贝尔放弃了无休止的等待。 1826年底,阿贝尔在巴黎经历了几个月的噩梦般的生活后回到了柏林。 据说,当他到达柏林时,身上只剩下可怜的七美元了。

他的好朋友克雷尔借给了他一笔钱,并答应帮助他在柏林找到一份教职,希望他能够留在柏林。 然而,由于他太年轻,巴黎之行也没有什么成果,所以没有学校愿意录用他。 。 克雷尔还想给他一个杂志《纯粹与应用数学》的编辑职位,但阿贝尔拒绝了,也许是出于尊严。 他的老师霍尔伯给他寄了大约60元钱。 拿着这点微薄的钱,他在柏林呆了一段时间,继续做椭圆函数的研究。

1827 年 5 月,负债累累、健康状况不佳的阿贝尔回到了家乡克里斯蒂安尼亚。 他的游学被认为是失败的。 他没有去哥廷根拜访高斯,也没有在法国留下任何发表的论文。 因此,后来的奖学金也失去了,他也找不到任何固定的工作。 1827年底,曾帮助过阿贝尔的穆森教授退休,教职空缺。 当时的候选人有两个,一个是阿贝尔,另一个是阿贝尔的启蒙老师霍霍,给予了他很多无私的帮助。 木材。 决定权在汉斯廷手中。 汉斯廷认为,如果把教职让给阿贝尔,霍尔伯可能永远没有机会在大学任教。 此外,汉斯廷当时还获得了专业。 只要有少量资金,他明年可能会去俄罗斯西伯利亚进行地磁勘探。 然后他会把自己的教学职位留给阿贝尔,所以穆森教授退休后留下的教学职位就给了霍尔伯。 但汉斯廷万万没想到,阿贝尔竟然已经穷途末路,没有了经济来源。 他只能帮助别人当助教和导师以维持生计。

1828年,汉斯廷前往俄罗斯之前,成功地将教职转移给了阿贝尔。 虽然只是自己工资的三分之一,但是对阿贝尔的经济状况影响很大。 尽管他的病情正在好转,但他的健康状况却在恶化。 持续的高烧和咳嗽使他变得虚弱。 。

阿贝尔在最穷的时候,仍然热爱数学,坚持研究,撰写了大量论文,主要涉及方程论和椭圆函数,即阿贝尔方程和阿贝尔群的理论。 通过克雷尔的《纯粹与应用数学》的传播,阿贝尔已经在欧洲赢得了不小的名气,成为了一位引人注目的数学家。 然而,在信息匮乏的挪威,他却一无所知。 在看到阿贝尔和雅可比关于椭圆函数理论的论文后,勒让德曾写信给雅可比称赞道:“通过这些作品,你们两人注定会成为我们这个时代最杰出的分析师。”

1828年冬天,阿贝尔乘坐雪橇前往弗罗兰看望他的未婚妻。 尽管裹着厚厚的衣服,仍然感到寒冷,但他还是鼓足了劲,和未婚妻一起过圣诞节。 ,他的身体就像雪崩一样,失控地恶化。

远在柏林的克雷尔并没有放弃为阿贝尔寻找教职。 他与诺伯特、高斯、勒让德等数学家、科学家联名写信给教育部长,“亲爱的部长先生,我们希望您能尽快批准阿贝尔的教职。阿贝尔现在是一位著名的数学家。我听说哥本哈根的大学要聘他为教授,如果是的话,他可能就不会留在德国了,希望他能快点……”。 1829年4月初,阿贝尔的教职终于获得批准。 柏林大学数学教授克雷尔很高兴,立即写信给阿贝尔告诉他这个好消息。 然而,为时已晚。 当4月8日这封信到达时,天才数学家阿贝尔已经去世两天了。

奥勒在他的著作《才华横溢的数学家尼尔斯·亨利·阿贝尔》中这样描述他最后的日子,“……他变得更加虚弱,不断咳嗽,只能安静地躺在床上几分钟。偶尔精神好一些的时候之后,他尝试看数学书,但已经写不了了,和别人聊天时,他总是嘲笑自己穷,感激霍尔伯,称赞汉斯汀的善良……4月5日晚,他迎来了最痛苦的时候,第二天上午11点,他叹息着结束了自己还不到27岁的生命。”

法国科学院请柯西审阅的那篇论文,是1830年柯西在一堆旧论文中才发现的。七月革命爆发后不久,保皇派柯西就流亡国外,直到1997年才回到巴黎。 1838年。该论文于1841年正式发表在《法国科学院著名科学家学报》上。

1830年6月,法国科学院大奖授予阿贝尔和雅可比,以表彰他们两位年轻的数学家。 一半的奖金后来寄给了阿贝尔的母亲。

1839年,他的老师霍尔伯收集整理了他的全部手稿,为他出版了一本作品集。

数学家埃尔米特高度评价阿贝尔,说:“他留下的东西可以让数学家再研究150年”。

为了纪念这位年轻而逝去的数学天才,挪威政府多次发行纪念他的系列邮票,还在500克朗钞票(1978年至1985年发行)和2002年的20克朗硬币上印有他的肖像。挪威政府设立的阿贝尔奖,也是数学家梦寐以求的最高荣誉。

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为了找到五次方程的公式解,卡尔达诺和他的学生费拉里在求解了四次方程后于1545年发表了《Artis magnae, sive de regulis algebraicis liber unus》(Artis magnae, sive de regulis algebraicis liber unus)。 全世界的数学家奋斗了近300年,阿贝尔用他短暂的一生如夏花告诉世人:

“四次以上的一般代数方程没有公式解,我给出了证明。”

这就是著名的“阿贝尔-鲁菲尼定理”,但是这个定理并不意味着每一个高于五次的多项式方程都不能用代数方法求解。 阿贝尔的论文暗示了一种重要的思维方式:

“解方程之前,首先要证明其解的存在性”

但哪些多项式方程有公式解,哪些没有?

这又是一个悲伤的故事。 敬请观看下一集《数学世界漫游指南-数学-方程组(十)成神之路与“伽罗瓦”之死》。

PS:我花了十多天的时间才写完这篇小传。 主要时间都花在查资料上了。 写完之后,我的心情非常难过,久久不能平静。 我将第一次讲述这个故事。 二女儿,她的反应是考斯比柯西更可恨,这也是一件很奇怪的事情。 下一篇文章要写很长一段时间,关于Évariste Galois的故事,虽然网上有很多版本。 ,尝试写一些不同的东西。